Filtre passe-bas
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Un filtre passe-bas est un filtre qui laisse passer les basses fréquences et atténue les hautes fréquences.

Fonction de transfert du premier ordre
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Un filtre du premier ordre est défini par la fonction de transfert suivante :
:math:`H(jw) = \frac{ signal\ de\ sortie}{signal\ d'entrée } = \frac{ K }{ 1 + j\ \frac { w }{ w_c } }`

Son module vaut : :math:`\left| H(jw) \right| = \frac { K }{ \sqrt{ 1 + (\frac { w }{ w_c })^2 }}`

Son argument vaut : :math:`\phi (w) = arg(H(jw)) = -arg(1 + j \frac{w}{w_c}) = -arctan(\frac{w}{w_c})`

Filtre RC passif
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Un filtre RC est un circuit passif à base de résistance et de condensateur.

.. image:: images/filtres/passe_bas_passif_composants.png
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.. image:: images/filtres/passe_bas_passif_bode.png
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	   :class: with_shadow


Sa fonction de transfert vaut : :math:`H(jw) = \frac{ signal\ de\ sortie}{signal\ d'entrée } = \frac{ K }{ 1 + jRCw }`

Sa fréquence de coupure est : :math:`f_c = \frac{1}{2\pi RC}\ ou\ w_c = \frac{1}{RC}`

Son gain en décibels vaut : :math:`G_dB(w) = 20 \log {K} - 10 \log ({1+(wRC)^2})`

Sa phase en radians vaut : :math:`\phi (w) = -arctan(wRC)`

Si :math:`w \ll w_c \ :\ G_dB \approx 0\ et\ \phi \approx 0` => filtre passant

Si :math:`w \gg w_c \ :\ G_dB \approx -20 \log {\frac {w}{w_c}}\ et\ \phi \approx -90` => signal filtré

Si :math:`w=w_c \ :\ G_dB = -3\ dB`

Filtre actif
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Un filtre actif permet d'augmenter le gain dans la bande passante.

.. image:: images/filtres/passe_bas_actif_composants.png
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Sa fréquence de coupure est : :math:`\frac {1}{2 \pi R_2 C}\ ou\ w_c = \frac{1}{R_2 C}`

Sa fonction de transfert est : :math:`H(jw) = \frac {-R_2}{R_1} * \frac{1}{1+jR_2 Cw}`

Si :math:`w \ll w_c \ :\ H(w) \approx \frac {-R_2}{R_1}`

Si :math:`w \gg w_c \ :\ H(w) \approx 0`